Em matemática, um subconjunto de um espaço topológico é chamado em nenhum lugar denso ou raro se seu fechamento tiver interior vazio. Em um sentido muito solto, é um conjunto cujos elementos não estão fortemente agrupados em nenhum lugar. Por exemplo, os inteiros não são densos em nenhum lugar entre os reais, enquanto uma bola aberta não é.
1 N não é denso em nenhum lugar?
Um exemplo de um conjunto que não é fechado, mas ainda não é denso em nenhum lugar é {1n|
∈N}. Ele tem um ponto limite que não está no conjunto (ou seja, 0), mas seu fechamento ainda não é denso porque nenhum intervalo aberto cabe dentro de {1n|n∈N}∪{0}.
Como você prova que um conjunto não é denso em lugar algum?
Um subconjunto A ⊆ X é chamado em nenhum lugar denso em X se o interior do fecho de A for vazio, ou seja, (A)◦=∅. Em outras palavras, A não é denso em nenhum lugar se estiver contido em um conjunto fechado com interior vazio. Passando para complementos, podemos dizer equivalentemente que A não é denso em nenhum lugar se seu complemento contém um conjunto aberto denso (por quê?).
O que significa denso em todos os lugares?
Um subconjunto A de um espaço topológico X é denso para o qual o fechamento é todo o espaço X (alguns autores usam a terminologia em todos os lugares densos). Uma definição alternativa comum é: um conjunto A que intercepta todo subconjunto aberto não vazio de X.
Todo conjunto denso é aberto?
Um espaço topológico X é hiperconectado se e somente se todo conjunto não vazio open é denso em X. Um espaço topológico é submáximo se e somente setodo subconjunto denso é aberto.