Seja P um subgrupo p Sylow de G. … Se G é simples, então ele tem 10 subgrupos de ordem 3 e 6 subgrupos de ordem 5. No entanto, como esses grupos são todos cíclicos de ordem prima, qualquer elemento não trivial de G está contido em no máximo um desses grupos.
Os grupos P são cíclicos?
O grupo trivial é o único grupo de ordem um, e o grupo cíclico C p é o único grupo de ordem p.
Os subgrupos são cíclicos?
Teorema: Todos os subgrupos de um grupo cíclico são cíclicos. Se G=⟨a⟩ é cíclico, então para todo divisor d de |G| existe exatamente um subgrupo de ordem d que pode ser gerado por a|G|/d a | G | /d. Prova: Seja |G|=dn | G |=d n.
Os subgrupos P Sylow são normais?
Se G tiver precisamente um subgrupo p Sylow, ele deve ser normal de um subgrupo único de uma dada ordem é Normal. Suponha que um subgrupo p Sylow P seja normal. Então é igual a seus conjugados. Assim, pelo Terceiro Teorema de Sylow, pode haver apenas um subgrupo p de Sylow.
Os sylow P-subgrupos são abelianos?
Provamos que Sylow p-subgrupos de um grupo finito G são abelian se e somente se os tamanhos de classe dos elementos p de G são todos coprimos de p, e, se p ∈ { 3, 5 }, o grau de cada caractere irredutível no bloco p principal de G é coprimo a p.
