O primeiro teorema que Pugh prova uma vez que define a Integral de Riemann é que integrabilidade implica limitação. Este é o Teorema 15 na página 155 da minha edição. Isso mostra que é preciso primeiro concordar com as definições.
O Riemann integrável implica limitado?
Teorema 4. Toda função integrável de Riemann é limitada.
As funções não limitadas são integráveis?
Uma função ilimitada não éRiemann integrável. A seguir, “integrável” significará “Riemann integrável e “integral” significará “Riemann integral”, a menos que indicado explicitamente de outra forma. f(x)={ 1/x if 0 < x ≤ 1, 0 if x=0. então as somas de Riemann superiores de f não são bem definidas.
Uma função integrável de Lebesgue é limitada?
Funções mensuráveis que são limitadas são equivalentes às funções integráveis de Lebesgue. Se f é uma função limitada definida em um conjunto mensurável E com medida finita. Então f é mensurável se e somente se f for Lebesgue integrável. … Por outro lado, funções mensuráveis são "quase" contínuas.
Como você sabe se uma função é Lebesgue integrável?
Se f, g são funções tais que f=g quase em todos os lugares, então f é Lebesgue integrável se e somente se g é Lebesgue integrável, e as integrais de f e g são o mesmo se existirem.
