Em geral, convergência pontual não implica convergência na medida. No entanto, para um espaço de medida finita, isso é verdade e, de fato, veremos nesta seção que muito mais é verdade.
A convergência em quase todos os lugares implica convergência na medida?
O espaço de medida em questão é sempre finito porque as medidas de probabilidade atribuem probabilidade 1 a todo o espaço. Em um espaço de medida finita, quase toda convergência implica em convergência de medida. Portanto quase convergência implica convergência em probability.
A convergência pontual implica continuidade?
Embora cada fn seja contínuo em [0, 1], seu limite pontual f não é (é descontínuo em 1). Assim, convergência pontual não preserva, em geral, a continuidade.
A convergência em L1 implica convergência pontual?
Assim, convergência pontual, convergência uniforme e convergência L1 não implicam uma à outra. No entanto, temos alguns resultados positivos: Teorema 7 Se fn → f em L1, então existe uma subsequência fnk tal que fnk → f pointwise a.e.
O que é convergência na teoria da medida?
Em matemática, mais especificamente na teoria das medidas, existem várias noções de convergência de medidas. Para um sentido geral intuitivo do que se entende por convergência em medida, considere uma sequência de medidas μ em um espaço, compartilhando uma coleção comumde conjuntos mensuráveis.
