Para a noção mais moderna de função, ela "lembra" seu contradomínio, e exigimos que o domínio de seu inverso seja todo o contradomínio, então uma função injetiva só é invertível se também é bijetiva.
Injetivo implica inverso?
Se sua função f:X→Y for injetiva, mas não necessariamente sobrejetora, você pode dizer que ela tem uma função inverse definida na imagem f(X), mas não em todo Y. Ao atribuir valores arbitrários em Y∖f(X), você obtém um inverso à esquerda para sua função.
Como você sabe se uma matriz é injetiva?
Seja A uma matriz e seja Ared a forma reduzida de linhas de A. Se Ared tiver um 1 inicial em cada coluna, então A é injetivo. Se Ared tiver uma coluna sem um 1 à esquerda, então A não é injetivo.
Uma matriz quadrada pode ser injetiva?
Observe que uma matriz quadrada A é injetiva (ou sobrejetiva) se ela for injetiva e sobrejetiva, ou seja, se for bijetiva. Matrizes bijetivas também são chamadas de matrizes invertíveis, porque são caracterizadas pela existência de uma única matriz quadrada B (a inversa de A, denotada por A−1) tal que AB=BA=I.
É injetiva se e somente se tem inversa à esquerda?
Reivindicação: f é injetivo se e somente se ele tem uma inversa à esquerda. Demonstração: Devemos (⇒) provar que se f é injetiva então tem inversa à esquerda, e também (⇐) que se f tem inversa à esquerda, então éinjetivo. (⇒) Suponha que f seja injetiva. Desejamos construir uma função g: B→A tal que g ∘ f=idA.